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发信人: Styrax (腰椎间盘突出的韩菱纱大萌), 信区: kaoyan 标题: Re: 相似矩阵发信站: 珞珈山水 (Sat Oct 2 02:56:46 2010), 站内【在 zhangghost 的大作中提到: 】 : 上述维基中有以下几点 : 1、相似矩阵代表了在不同的基下相同的线性变换，正交矩阵一定是相似矩阵。 : 2、合同矩阵主要在二次型中用到，两个矩阵合同当且仅当他们在不同基下代表同一双线 : ................... 楼主的话，只要知道这么一点应该就差不多了吧，对于同样型号的矩阵A和B，如果A和B有相同的秩，A就与B等价；如果存在一个矩阵P，使得A=P\\\\\\\'BP，A就与B合同，特别地，当A是对称矩阵的时候，还有主轴定理所揭示的一些性质；如果A与B有相同的特征根，A就与B相似，此时存在一个矩阵P，使得A=P^(-1)BP。至于以下内容完全是口胡：矩阵从本质上来说，就是某一线性映射在特定基底下的一种表示方法。这句话直观地讲，差不多是说，一个矩阵实际上类似于向量的某些函数在特定基底下的函数表达式。从这个意义上讲，相似矩阵实际上就是同一线性变换（这是一类定义域与值域相同的特殊的线性映射，换句话说就是一种很特殊的向量函数）在不同基底之下的不同记法。就好比一个圆，不论是放在直角坐标系里还是极坐标系里，表达式不一样，可圆还是原来那个圆。因此，相似矩阵往往有一些相同的性质，包括相同的Jordan标准型等等。至于合同矩阵，实际上是一种特殊的等价矩阵。我们知道矩阵的初等变换，就是消法变换、倍法变换、对换什么的，它们的本质是某种形式最简单、难以继续拆分的线性映射（其实对换还是可以继续拆分成消法和倍法变换的，所以严格来讲对换不能算作是初等变换），就好比是加法，乘法、乘方这些更复杂的运算只不过是很多次加法而已。如果我们能够通过有限次这样最简单的运算，把一个矩阵变成另一个矩阵，我们就说这两个矩阵等价。更进一步，初等变换可以分为行变换和列变换两大类，如果我们在上面的基础上还要求，我们把一个矩阵通过初等变换变成另一个矩阵的时候，是按照每进行一次行变换就立刻进行一次对称的列变换，或者是每进行一次列变换就立刻进行一次对称的行变换这种严格的规则进行的，那么就说这两个矩阵是合同的。 -- 虽然我没有玩过仙剑四，但还是一发不可收拾地迷上了患有腰椎间盘突出的韩菱纱酱…… ※ 修改:·Styrax 于 Oct 2 03:04:21 2010 修改本文·[FROM: 27.16.117.] ※ 来源:·珞珈山水 http://bbs.whu.edu.cn·[FROM: 27.16.117.]
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发信人: Styrax (腰椎间盘突出的韩菱纱大萌), 信区: kaoyan
标  题: Re: 相似矩阵
发信站: 珞珈山水 (Sat Oct  2 02:56:46 2010), 站内

【在 zhangghost 的大作中提到: 】
: 上述维基中有以下几点
: 1、相似矩阵代表了在不同的基下相同的线性变换，正交矩阵一定是相似矩阵。
: 2、合同矩阵主要在二次型中用到，两个矩阵合同当且仅当他们在不同基下代表同一双线
: ...................

楼主的话，只要知道这么一点应该就差不多了吧，对于同样型号的矩阵A和B，如果A和B有相同的秩，A就与B等价；如果存在一个矩阵P，使得A=P\\\\\\\'BP，A就与B合同，特别地，当A是对称矩阵的时候，还有主轴定理所揭示的一些性质；如果A与B有相同的特征根，A就与B相似，此时存在一个矩阵P，使得A=P^(-1)BP。

至于以下内容完全是口胡：

矩阵从本质上来说，就是某一线性映射在特定基底下的一种表示方法。这句话直观地讲，差不多是说，一个矩阵实际上类似于向量的某些函数在特定基底下的函数表达式。从这个意义上讲，相似矩阵实际上就是同一线性变换（这是一类定义域与值域相同的特殊的线性映射，换句话说就是一种很特殊的向量函数）在不同基底之下的不同记法。就好比一个圆，不论是放在直角坐标系里还是极坐标系里，表达式不一样，可圆还是原来那个圆。因此，相似矩阵往往有一些相同的性质，包括相同的Jordan标准型等等。

至于合同矩阵，实际上是一种特殊的等价矩阵。我们知道矩阵的初等变换，就是消法变换、倍法变换、对换什么的，它们的本质是某种形式最简单、难以继续拆分的线性映射（其实对换还是可以继续拆分成消法和倍法变换的，所以严格来讲对换不能算作是初等变换），就好比是加法，乘法、乘方这些更复杂的运算只不过是很多次加法而已。如果我们能够通过有限次这样最简单的运算，把一个矩阵变成另一个矩阵，我们就说这两个矩阵等价。更进一步，初等变换可以分为行变换和列变换两大类，如果我们在上面的基础上还要求，我们把一个矩阵通过初等变换变成另一个矩阵的时候，是按照每进行一次行变换就立刻进行一次对称的列变换，或者是每进行一次列变换就立刻进行一次对称的行变换这种严格的规则进行的，那么就说这两个矩阵是合同的。

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虽然我没有玩过仙剑四，但还是一发不可收拾地迷上了患有腰椎间盘突出的韩菱纱酱……

※ 修改:·Styrax 于 Oct  2 03:04:21 2010 修改本文·[FROM: 27.16.117.*]
※ 来源:·珞珈山水

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